Question

17£®ÔڵȲîÊýÁÐ{a_n}ÖУ¬a₁=1£¬a₅=9£¬ÊýÁÐ{a_n}¡¢{b_n}Âú×ã$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=6-$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}}$£¨n¡ÊN^*£©£®
£¨¢ñ£©ÇóÖ¤£ºÊýÁÐ{b_n}ÊǵȱÈÊýÁУ»
£¨¢ò£©ÇóÊýÁÐ{$\frac{2+{a}_{n}}{{b}_{n}}$}µÄÇ°nÏîµÄºÍS_n£®

Answer 1

·ÖÎö £¨I£©ÀûÓõȲîÊýÁеÄͨÏʽ¿ÉµÃa_n£¬ÀûÓÃÊýÁеÝÍƹØϵÓëµÈ±ÈÊýÁеÄͨÏʽ¼´¿ÉµÃ³ö£®
£¨II£©ÀûÓá°´íλÏà¼õ·¨¡±ÓëµÈ±ÈÊýÁеÄÇóºÍ¹«Ê½¼´¿ÉµÃ³ö£®

½â´ð £¨¢ñ£©Ö¤Ã÷£ºÉèµÈ²îÊýÁÐ{a_n}µÄ¹«²îΪd£¬¡ßa₁=1£¬a₅=9£¬¡à9=1+4d£¬½âµÃd=2£®
¡àa_n=1+2£¨n-1£©=2n-1£®
ÊýÁÐ{a_n}¡¢{b_n}Âú×ã$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=6-$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}}$£¨n¡ÊN^*£©£®
¡àn=1ʱ£¬$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=6-$\frac{{a}_{3}}{{b}_{1}}$£¬¿ÉµÃ$\frac{1}{{b}_{1}}$=6-$\frac{5}{{b}_{1}}$£¬½âµÃb₁=1£®
n¡Ý2ʱ£¬$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+¡­+$\frac{{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=6-$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n-1}}$£¨n¡ÊN^*£©£®
¡à$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n-1}}$-$\frac{{a}_{n+2}}{{b}_{n}}$£¬¼´$\frac{2{a}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n-1}}$£¬¡à$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=2£®
¡à{b_n}ÊÇÒÔ1ΪÊ×Ï2Ϊ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ®
£¨¢ò£©ÓÉ£¨I£©¿ÉµÃ£ºb_n=2^n-1£®
¡à$\frac{2+{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$£¬
ÊýÁÐ{$\frac{2+{a}_{n}}{{b}_{n}}$}µÄÇ°nÏîµÄºÍS_n=3¡Á1+5¡Á$\frac{1}{2}$+7¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{2}$+¡­+£¨2n+1£©¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{n-1}$£¬
¡à$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3¡Á\frac{1}{2}$+5¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{2}$+¡­+£¨2n-1£©¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{n-1}$+£¨2n+1£©¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{n}$£¬
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=3+2$[\frac{1}{2}+£¨\frac{1}{2}£©^{2}+¡­£¨\frac{1}{2}£©^{n-1}]$-£¨2n+1£©¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{n}$=3+2¡Á$\frac{\frac{1}{2}£¨1-\frac{1}{{2}^{n-1}}£©}{1-\frac{1}{2}}$-£¨2n+1£©¡Á$£¨\frac{1}{2}£©^{n}$£¬
¡àS_n=10-$\frac{2n+5}{{2}^{n-1}}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁË¡°´íλÏà¼õ·¨¡±¡¢µÈ²îÊýÁÐÓëµÈ±ÈÊýÁеÄͨÏʽÓëÇóºÍ¹«Ê½£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮