Question

2．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_n+1=S_n+2（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式，结合等比数列，求得首项和公比，运用通项公式即可得到所求；
（2）化简可得b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）由a_n+1=S_n+2（n∈N₊），
得a_n=S_n-1+2（n∈N₊，n＞1）．
两式相减得：a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n（n≥2），
∵{a_n}是等比数列，所以a₂=2a₁，又a₂=a₁+2
 则a₁+2=2a₁，∴a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知a_n+1=2ⁿ⁺¹，a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}前n项和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．