Question

12．函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，则n-m的最小值为2π．

Answer 1

分析 将函数化简为f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1．的最小正周期为π，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．可知在y轴左侧的第一个零点为$-\frac{π}{6}$，右侧的第一个零点为$\frac{π}{3}$，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，可得n-m的最小值．

解答 解：函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx+1（ω＞0）
化简可得：f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1．
∵最小正周期为π，即T=π，
∴$2ω=\frac{2π}{T}$，可得ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
根据正弦函数的图象及性质可知：函数f（x）的y轴左侧的第一个零点为$-\frac{π}{6}$，右侧的第一个零点为$\frac{π}{3}$，x∈[m，n]时，f（x）至少有5个零点，不妨设m=$-\frac{π}{6}$，则n=$\frac{11π}{6}$．
此时n-m可得最小值为2π．
故答案为2π．

点评 本题考查了函数图象的零点问题，抓住：函数f（x）的y轴左侧右侧的第一个零点是解题的关键！属于基础题．