Question

4．已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，求T₂₀₁₃．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n，n=1时，a₁=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=$\frac{1}{3}$，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，化为：${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，…（3分）
即数列{a_n}是首项为$\frac{1}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，故a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．…（5分）
（2）由已知可得：f（a_n）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n}$=-n．…（6分）
则b_n=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，…（8分）
故$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
又T_n=-2$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=-2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{-2n}{n+1}$．
∴T₂₀₁₃=-$\frac{2×2013}{2014}$=-$\frac{2013}{1007}$．…（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．