Question

9．设等差数列{a_n}的公差为d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的公差为d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1，n=1时，2a₁=a₂-1，可得2a₁=a₁+2a₁-1，解得a₁，d．利用通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为d，且2a₁=d，2a_n=a_2n-1，n=1时，2a₁=a₂-1，可得2a₁=a₁+2a₁-1，解得a₁=1．
∴d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+$2$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．