Question

5．当$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$时，函数$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}{cos^2}\frac{x}{4}-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$的最小值为（　　）

• A． $-\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，根据$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$求出函数f（x）的最小值．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{2}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+\sqrt{6}{cos^2}\frac{x}{4}-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$（1+cos$\frac{x}{2}$）-$\frac{\sqrt{6}}{2}$
=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$）
=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
当$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}]$时，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
∴函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角恒等变以及正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．