Question

3．直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，若直线l与该抛物线围成的封闭图形的面积为$\frac{3}{2}$，则p等于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，则抛物线与直线的交点为（$\frac{p}{2}$，±p）
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根据定积分的几何意义得2${∫}_{0}^{p}（$$\frac{{y}^{2}}{2p}$）=p²-$\frac{3}{2}$，即可求p

解答 解：直线l过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点且与该抛物线的轴垂直，
则抛物线与直线的交点为（$\frac{p}{2}$，±p）
y²=2px（p＞0）⇒x=$\frac{{y}^{2}}{2p}$，根据定积分的几何意义得2${∫}_{0}^{p}（$$\frac{{y}^{2}}{2p}$）dy=p²-$\frac{3}{2}$，
∵$（\frac{{y}^{3}}{6p}）′=\frac{{y}^{2}}{2p}$，∴2×$\frac{{p}^{2}}{6}$=${p}^{2}-\frac{3}{2}$，∴$p=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查了微积分的几何性质，及定积分定理的应用，属于中档题，