Question

14．已知圆C：（x-6）²+y²=20，直线l：y=kx与圆C交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意可得圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径$\sqrt{20}$，由此求得k的范围．
（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C，化简后利用韦达定理，再根据$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，可得x₂=2x₁，从而求得k的值，可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，圆心C（6，0）到直线l：y=kx的距离小于半径$\sqrt{20}$，
即 $\frac{|6k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜$\sqrt{20}$，求得-$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅱ）把直线l：y=kx代入圆C：（x-6）²+y²=20，化简可得（1+k²）x²-12x+16=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12}{1{+k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{16}{1{+k}^{2}}$．
若$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，则x₂=2x₁，则x₁=$\frac{4}{1{+k}^{2}}$，x₂=$\frac{8}{1{+k}^{2}}$，∴则x₁•x₂=$\frac{4}{1{+k}^{2}}$•$\frac{8}{1{+k}^{2}}$=$\frac{16}{{1+k}^{2}}$，∴k=±1，
故直线l：y=±x．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，韦达定理的应用，属于中档题．