Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，且F₂为抛物线y²=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PF₁F₂的面积为36$\sqrt{6}$，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{27}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 利用△PF₁F₂的面积为36$\sqrt{6}$，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，即可求出双曲线的方程．

解答 解：由题意，F₂（6，0），
设P（m，n），则
∵△PF₁F₂的面积为36$\sqrt{6}$，
∴$\frac{1}{2}×12×|n|$=36$\sqrt{6}$，∴|n|=6$\sqrt{6}$，
∴m=9，
取P（9，6$\sqrt{6}$），则2a=$\sqrt{（9+6）^{2}+（6\sqrt{6}）^{2}}$-$\sqrt{（9-6）^{2}+（6\sqrt{6}）^{2}}$=6，
∴a=3，b=3$\sqrt{3}$，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1，
故选A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查三角形面积的计算，属于中档题．