Question

11．如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．
（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO，由等腰三角形的性质可得PO⊥AC，BO⊥AC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）由平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，可得PO⊥平面ABC，以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后分别求出平面PBC与平面PAC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：如图，
取AC中点O，连接PO，BO，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，
∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；
（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，
PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，
以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵AC=PC=2，∴P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{BC}=（-1，-\sqrt{3}，0）$，
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，-1）$，
又$\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{3}，0）$是平面PAC的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-PC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．