Question

5．已知函数f（x）=lnx+（e-a）x-b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则$\frac{b}{a}$的最小值为-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a$，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a=0$，得x=$\frac{1}{a-e}$，由题意当x=$\frac{1}{a-e}$时，f（x）取最大值0，推导出$\frac{b}{a}≥\frac{-1-ln（a-e）}{a}$（a＞e），令F（x）=$\frac{-1-ln（x-e）}{x}$，x＞e，F′（x）=$\frac{（x-e）ln（x-e）-e}{（x-e）{x}^{2}}$，令H（x）=（x-e）ln（x-e）-e，H′（x）=ln（x-e）+1，由此利用导数性质能求出$\frac{b}{a}$的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=lnx+（e-a）x-b，其中e为自然对数的底数，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a$，x＞0，
当a≤e时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，
当a＞e时，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a=0$，得x=$\frac{1}{a-e}$，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，
当x∈（0，$\frac{1}{a-e}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（$\frac{1}{a-e}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=$\frac{1}{a-e}$时，f（x）取最大值，
f（$\frac{1}{a-e}$）=-ln（a-e）-b-1≤0，
∴ln（a-e）+b+1≥0，
∴b≥-1-ln（a-e），
∴$\frac{b}{a}≥\frac{-1-ln（a-e）}{a}$（a＞e），
令F（x）=$\frac{-1-ln（x-e）}{x}$，x＞e，
F′（x）=$\frac{-\frac{1}{x-e}x+1+ln（x-e）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-e）ln（x-e）-e}{（x-e）{x}^{2}}$，
令H（x）=（x-e）ln（x-e）-e，
H′（x）=ln（x-e）+1，
由H′（x）=0，得x=e+$\frac{1}{e}$，
当x∈（e+$\frac{1}{e}$，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，
x∈（e，e+$\frac{1}{e}$）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，
∴当x=e+$\frac{1}{e}$时，H（x）取最小值H（e+$\frac{1}{e}$）=-e-$\frac{1}{e}$，
∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，
∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，
∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）=$\frac{-1-1}{2e}$=-$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{b}{a}$的最小值为-$\frac{1}{e}$．
故答案为：-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查两数比值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．