Question

13．在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角，$AE∥BF，AB=\frac{1}{2}BF=1$，
平面ABCD⊥平面ABFE．
（1）求证：DB⊥EC；
（2）若AE=AB，求二面角C-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥AB，BF⊥AB，从而BF⊥BC，设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴坐标系，利用向量法能证明DB⊥EC．
（2）求出平面BEF的一个法向量和平面CEF的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-EF-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB=90°，
∴AE⊥AB，BF⊥AB，
∵平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE=AB，
∴AE⊥平面ABCD．BF⊥平面ABCD，∴BF⊥BC，
设AE=t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图坐标系，
则B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（1，t，0）$\overrightarrow{DB}=（-1，0，-1），\overrightarrow{EC}=（-1，-t，1）$
∵$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EC}$=0，∴DB⊥EC．…（6分）
解：（2）由（1）知$\overrightarrow{BC}=（0，0，1）$是平面BEF的一个法向量，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面CEF的一个法向量，
AE=AB=1，E（1，1，0），F（0，2，0），
∴$\overrightarrow{CE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{CF}$=（0，2，-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2，$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即二面角C-EF-B的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．