Question

18．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-t有三个不同的零点x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），则
-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$的取值范围是$（\frac{5}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\\{-\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，图象如图，
函数g（x）=f（x）-t有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，
且x₁＜x₂＜x₃，即方程f（x）=t有三个不同的实数根
x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因为x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0），
所以f（x）$≤\frac{1}{2}$，当且仅当x=1时取得最大值．
当y=$\frac{1}{2}$时，x₁=-2；x₂=x₃=1，
此时-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$=$\frac{5}{2}$，
由$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$=t（0$＜t＜\frac{1}{2}$），可得${x}^{2}-\frac{x}{t}+1$=0，∴x₂+x₃=$\frac{1}{t}$，x₂x₃=1
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{t}$＞2，
∴-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$=t+$\frac{1}{t}$
∵0$＜t＜\frac{1}{2}$，∴-$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$的取值范围是$（\frac{5}{2}，+∞）$．
故答案为$（\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．