Question

6．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面体PAECF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE．再由已知得△ABC为等边三角形，可得AE⊥BC，即AE⊥AD．然后由线面垂直的判定可得AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）令多面体PAECF的体积为V，则V=V_P-AEC+V_C-PAF．然后结合已知分别求出两个三棱锥的体积得答案．

解答 （Ⅰ）证明：由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AE．
底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为等边三角形，
又∵E为BC的中点，得AE⊥BC，∴AE⊥AD．
∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：令多面体PAECF的体积为V，则V=V_P-AEC+V_C-PAF．
∵底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，
点E、F分别为BC、PD的中点，PA=AB=2，
∴${V_{P-AEC}}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×AE×EC）×PA$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1）×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
${V_{C-PAF}}=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×PA×PF×sin∠APF）$×$AE=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×sin45°）$×$\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴多面体PAECF的体积为$V=\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．