Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=4，∠BAC=90°，D为侧面ABB₁A₁的中心，E为BC的中点
（1）求证：平面B₁DE⊥侧面BCC₁B₁；
（2）求异面直线A₁B与B₁E所成的角；
（3）求点A₁到面B₁DE的距离．

Answer 1

分析 （1）证明平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁，只要证明DB₁E经过平面BCC₁B₁的一条垂线即可，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，且底面为等腰直角三角形可得答案；
（2）取AE中点F，连接DF，则DF∥B₁E，∠BDF为异面直线A₁B与B₁E所成的角，利用余弦定理求解即可；
（3）利用等体积方法求点A₁到面B₁DE的距离．

解答 （1）证明：如图，
连结AE，∵AB=AC，且E为BC的中点，
∴AE⊥BC，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥AE．
BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面BCC₁B₁，由AE?平面DB₁E．
∴平面DB₁E⊥平面BCC₁B₁；（4分）
（2）解：取AE中点F，连接DF，则DF∥B₁E
所以∠BDF为异面直线A₁B与B₁E所成的角（6分）
在△BDF中，BD=2$\sqrt{2}$，DF=$\frac{1}{2}$B₁E=$\sqrt{6}$，BF=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴cos∠BDF=$\frac{8+6-10}{2•2\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$
∴求异面直线A₁B与B₁E所成的角arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$（8分）
（3）因为D为A₁B的中点，所以点B到面B₁DE的距离等于点A₁到面B₁DE的距离h
由等体积得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{6}•\sqrt{8-6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×4$
∴h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（12分）

点评 本题考查了平面与平面垂直的判定，考查异面直线A₁B与B₁E所成的角、点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．