Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y-2=0相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于直线l：y=x+m和点Q（0，3），椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y=-x+n．联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，由△＞0解得n的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得m的范围，最后由3$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=32求得m的值．

解答 解：（1）由椭圆的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\frac{c^2}{a^2}=\frac{c^2}{{{b^2}+{c^2}}}=\frac{1}{2}$，得b=c．
上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），
以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为${（{x-\frac{b}{2}}）^2}+{（{y-\frac{b}{2}}）^2}={（{\frac{a}{2}}）^2}=\frac{b^2}{2}$，
∴$\frac{{|{b-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}b$，即|b-2|=b，得b=c=1，$a=\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）由题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y=-x+n．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+n\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y整理可得：3x²-4nx+2n²-2=0，
由△=（-4n）²-12（2n²-2）=24-8n²＞0，解得$-\sqrt{3}＜n＜\sqrt{3}$．
${x_1}+{x_2}=\frac{4n}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{n^2}-2}}{3}$，
设直线AB之中点为P（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2n}{3}$，
由点P在直线AB上得：${y_0}=-\frac{2n}{3}+n=\frac{n}{3}$，
又点P在直线l上，∴$\frac{n}{3}=\frac{2n}{3}+m$，则$m=-\frac{n}{3}∈（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$…①．
又$\overrightarrow{QA}=（{{x_1}，{y_1}-3}）$，$\overrightarrow{QB}=（{{x_2}，{y_2}-3}）$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}-\frac{32}{3}=（{{x_1}，{y_1}-3}）•（{{x_2}，{y_2}-3}）-\frac{32}{3}$
=${x_1}{x_2}+（{{y_1}-3}）（{{y_2}-3}）-\frac{32}{2}={n^2}-2n-3=9{m^2}+6m-3=3（{3m-1}）（{m+1}）=0$，
解得：$m=\frac{1}{3}$或m=-1…②
综合①②，知m的值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．