Question

10．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，M为不等式f（x）＜4的解集．
（1）求M；
（2）证明：对?a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，利用分段函数，求M；
（2）利用分析法，即可证明．

解答 解：（1）$f（x）=|{x-1}|+|{x+1}|=\left\{{\begin{array}{l}{2x，x＞1}\\{2，-1≤x≤1}\\{-2x，x＜-1}\end{array}}\right.$，解得M=（-2，2）；
（2）要证明|ab+4|＞|a+b|，
只要证明ab+4＞|a+b|，
即-ab-4＜a+b＜ab+4，$?\left\{{\begin{array}{l}{（{a-1}）（{b-1}）＞-3}\\{（{a+1}）（{b+1}）＞-3}\end{array}}\right.$显然成立．
∴对?a，b∈M，|ab+4|＞|a+b|．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．