Question

20．在△ABC中，已知AB=8，AC=6，点O为三角形的外心，则$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{OA}$=14．

Answer 1

分析 可分别取AB，AC的中点D，E，并连接OD，OE，据条件即可得出OD⊥AB，OE⊥AC，而$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，代入$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{OA}$进行数量积的计算即可求出该数量积的值．

解答 解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{OA}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{OA}$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$
=$|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{OA}|cos（π-∠OAE）$$-|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OA}|cos（π-∠OAD）$
=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OA}|cos∠OAD-|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{OA}|cos∠OAE$
=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
=32-18
=14．
故答案为：14．

点评 考查三角形外心的概念及性质，余弦函数的定义，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式．