Question

8．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若∠CAB=$\frac{π}{6}$，求三棱锥B₁-A₁BC的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证AB⊥BC，而AB?侧面A₁ABB₁，可先证BC⊥侧面A₁ABB₁，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，根据面面垂直的性质可知AD⊥平面A₁BC，则AD⊥BC，又AA₁⊥BC，AA₁∩AD=A，满足定理所需条件；
（2）利用等体积方法，求三棱锥B₁-A₁BC的体积．

解答 （1）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
则由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC．又BC?平面A₁BC
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，
故AB⊥BC．
（2）解：∵AB⊥BC，BB₁⊥AB，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C，∴A₁B₁⊥平面BB₁C，
∵∠CAB=$\frac{π}{6}$，
∴三棱锥B₁-A₁BC的体积=三棱锥A₁-B₁BC的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}×2$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥B₁-A₁BC的体积的求法，是中档题．