Question

13．已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且sin$\frac{α}{2}$+cos $\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
（1）求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，β∈（$\frac{π}{2}$，π），求cos β的值．

Answer 1

分析 （1）利用两边平方，可得sinα的值，利用同角三角函数关系式求解cosα，可得tanα．可求tan（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）根据cosβ=cos[α-（α-β）]根据两角和与差的公式打开，可求cos β的值．

解答 解（1）∵sin$\frac{α}{2}$+cos $\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴1+sinα=$\frac{3}{2}$，即sinα=$\frac{1}{2}$
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
那么：tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+tan\frac{π}{4}}{1-tanα•tan\frac{π}{4}}=\frac{15-7\sqrt{3}}{13}$；
（2）∵sin α=$\frac{1}{2}$．又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴cos α=-$\sqrt{1-sin2α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$．
又sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，得cos（α-β）=$\frac{4}{5}$．
cos β=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$-\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数关系式和构造思想，构造cosβ=cos[α-（α-β）]利用两角和与差的公式打开求解是关键．属于基础题．