Question

1．已知函数f（x）=ln（x+$\sqrt{a+{x}^{2}}$），是定义在R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）解不等式f（2^x）≤f（$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4）≤ln（3+$\sqrt{10}$）；
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，不等式f（a•4^x+a）+f（2^x+1）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）=0，可得a=1，再运用定义，检验f（x）为奇函数即可；
（Ⅱ）判断出y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，由f（x）为奇函数，且过原点，可得f（x）在R上递增，f（2^x）≤f（$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4）≤ln（3+$\sqrt{10}$）=f（3）?2^x≤$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4≤3，解不等式即可得到所求解集；
（Ⅲ）由题意结合f（x）为奇函数，f（x）在R上递增，可得f（a•4^x+a）＞f（-2^x-1），a•4^x+a＞-2^x-1，即a＞$-\frac{{2}^{x}+1}{{4}^{x}+1}$．设t=2^x+1（3≤t≤5），则2^x=t-1，运用单调性求得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由于f（x）为定义在R上的奇函数，
则f（0）=0，即有ln$\sqrt{a}$=0，
解得a=1．
则有f（x）=ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
由x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$＞0，解得x∈R，
f（-x）+f（x）=lg（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+lg（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）=lg（x²+1-x²）=lg1=0，
即有f（-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数．
故a=1；
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$ln\frac{{x}_{1}+\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}{{x}_{2}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}＜\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$，
则0＜$\frac{{x}_{1}+\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}{{x}_{2}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜1，即$ln\frac{{x}_{1}+\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}}{{x}_{2}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），则y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，
由f（x）为奇函数，且过原点，可得f（x）在R上递增，
∴f（2^x）≤f（$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4）≤ln（3+$\sqrt{10}$）=f（3），
?2^x≤$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4≤3，
首先log₂（x+1）＞0，即x＞0．
即有（4+2^x）log₂（x+1）≤6，
由y=（4+2^x）log₂（x+1）的导数为y′=2^xln2•log₂（x+1）+（4+2^x）•$\frac{1}{（x+1）ln2}$＞0，
则x＞0时，函数y递增，又x=1时，（4+2）log₂（1+1）=6，
即有（4+2^x）log₂（x+1）≤6的解为0＜x≤1①
$\frac{6}{lo{g}_{2}（x+1）}$-4≤3，即有log₂（x+1）≥$\frac{6}{7}$，
解得x≥2${\;}^{\frac{6}{7}}$-1，②
由①②可得，2${\;}^{\frac{6}{7}}$-1≤x≤1．
则原不等式的解集为[2${\;}^{\frac{6}{7}}$-1，1]；
（Ⅲ）不等式f（a•4^x+a）+f（2^x+1）＞0?f（a•4^x+a）＞f（-2^x-1），
∵y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴y=f（x）在R上为增函数，
∴原不等式等价于a•4^x+a＞-2^x-1，即a＞$-\frac{{2}^{x}+1}{{4}^{x}+1}$．
设t=2^x+1（3≤t≤5），则2^x=t-1，
即有$-\frac{{2}^{x}+1}{{4}^{x}+1}$=-$\frac{t}{（t-1）^{2}+1}$=-$\frac{1}{t+\frac{2}{t}-2}$，
由t+$\frac{2}{t}$的导数为1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，可得t+$\frac{2}{t}$在[3，5]递增，
可得t+$\frac{2}{t}$∈[$\frac{11}{3}$，$\frac{27}{5}$]，即有-$\frac{1}{t+\frac{2}{t}-2}$∈[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{17}$]．
则a＞-$\frac{5}{17}$．
即有实数a的取值范围是（-$\frac{5}{17}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断与证明，考查了数学转化思想方法及分离变量法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是难题．