Question

13．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-λ（λ是非零常数）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2a_n+（-1）ⁿlog₂a_n，当a₁=1时，求数列{b_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）由a₁=1时，知${a_n}={2^{n-1}}$，求得${b_n}={2^n}+{（{-1}）^n}（n-1）$，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，S_n=2a_n-λ．①，S_n-1=2a_n-1-λ②
①-②可得a_n=2a_n-1（n≥2），
当n=1时，a₁=λ，当n=2时，a₂=2a₁=2λ，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}=λ{2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由a₁=1时，知${a_n}={2^{n-1}}$，
故${b_n}={2^n}+{（{-1}）^n}（n-1）$，记数列{b_n}的前2n项和为T_2n，
T2n=（21-0）+（22+1）+（23-2）+…+[22n++（2n-1）]
=（2+2²+2³+…+2²ⁿ）+（-0+1-2+3-…+2n-1）
=$\frac{2（1-{2}^{2n}）}{1-2}$+（1+1+…+1）=2²ⁿ⁺¹-2+n．
故数列{b_n}的前2n项和为2²ⁿ⁺¹-2+n．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列求和公式，属于中档题．