Question

1．已知数列{a_n}是等比数列，其公比为2，设b_n=log₂a_n，且数列{b_n}的前10项的和为25，那么$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}}$的值为$\frac{1023}{128}$．

Answer 1

分析 由题意可得：b₁+b₂+…+b₁₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}^{10}{2}^{1+2+…+9}）$=25，${a}_{1}^{10}×{2}^{45}$=2²⁵，可得：a₁=$\frac{1}{4}$．代入即可得出．

解答 解：数列{a_n}是等比数列，其公比为2，
设b_n=log₂a_n，且数列{b_n}的前10项的和为25，
∴b₁+b₂+…+b₁₀=log₂（a₁•a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}^{10}{2}^{1+2+…+9}）$=25，
∴${a}_{1}^{10}×{2}^{45}$=2²⁵，可得：a₁=$\frac{1}{4}$．
那么$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{10}}$=4$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{9}}）$=4×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{10}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1023}{128}$．
故答案为：$\frac{1023}{128}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．