Question

16．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线及双曲线的渐近线的交点依次为A、B，若2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OF}$，则该双曲线的离心率的值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据条件求出A，B的坐标，结合中点坐标公式建立a，c的关系进行求解即可．

解答 解：根据题意可求得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，$\frac{bc}{a}$），
∵2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OF}$，
∴A为BF的中点，∴2•$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{bc}{a}$，即c=2b，
∴双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{{c}^{2}-b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：A

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和双曲线的相交关系求出交点坐标，结合中点坐标公式以及离心率的公式是解决本题的关键．