Question

6．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别于BC，AD交于点P，Q，若|DQ|=λ|DA|
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ
（2）是否存在实数λ，使得三棱锥Q-BCN的体积为$\frac{7}{16}$？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角梯形性质可得PQ⊥AE，结合PQ⊥SE得出PQ⊥平面SAE，故而平面SAE⊥平面MNPQ；
（2）根据V_Q-BCN=V_N-BCQ=$\frac{1}{3}$S_△BCQ•$\frac{1}{2}SE$列方程解出λ．

解答 解：（1）E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD
当λ=$\frac{1}{2}$时，Q为AD中点，PQ∥CD  所以PQ⊥AE
因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD
因为PQ?面ABCD，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE
所以面MNPQ⊥面SAE…（6分）
（2）V_Q-BCN=V_N-BCQ=$\frac{1}{2}$V_S-BCQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△BCQ•h，
∵SC=SD，E为CD中点∴SE⊥CD
又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，SE?平面SCD，
∴SE⊥平面ABCD∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h．
在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴SE=$\sqrt{3}$，
在直角梯形ABCD中，易求得：BC=$\sqrt{3}$，
∵M，N为中点，∴MN∥AB，∴AB∥平面MNPQ，
又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，∴AB∥PQ，
又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴S_△BCQ=$\frac{1}{2}$BC×PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ，
∴V_Q-BCN=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△BCQ•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$PQ，
由题意：$\frac{1}{4}$PQ=$\frac{7}{16}$，∴PQ=$\frac{7}{4}$．
在梯形ABCD中，$\frac{FQ}{GD}$=$\frac{AQ}{AD}$，FQ=PQ-AB=$\frac{3}{4}$，GD=1，∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{DQ}{AD}$=$\frac{1}{4}$     即λ=$\frac{1}{4}$
∴存在实数λ=$\frac{1}{4}$，使得三棱锥Q-BCN的体积为$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定与性质，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．