Question

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线E：x²=4y的焦点是椭圆C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，直线y=k（x-4）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，直线x=1与直线BM交于点P．
（i）证明：A，P，N三点共线；
（ii）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$⇒a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，即可；
（Ⅱ）（i）将直线y=k（x-4）（k≠0）代入椭圆C得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0．则M（x₁，k（x₁-4）），N（x₂，k（x₂-4））．要证A，P，N三点共线，只证明$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AN}$共线即可，即证明$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（{x}_{2}+2）=3k（{x}_{2}-4）$成立．
（ii）将直线y=k（x-4）（k≠0）变形为x=my+4，（m=$\frac{1}{k}$）．联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（m²-4）y²+8my-12=0．
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\frac{4\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}$，点O到直线MN的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．△OMN面积S=$\frac{1}{2}$×|MN|×d即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$⇒a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）（i）证明：将直线y=k（x-4）（k≠0）代入椭圆C得：（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0．
$△=16（1-12{k}^{2}）＞0，解得-\frac{\sqrt{3}}{6}＜k＜\frac{\sqrt{3}}{6}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{32{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{64{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，…①
则M（x₁，k（x₁-4）），N（x₂，k（x₂-4））．
∴BM的方程为：$y=\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（x-2）$，⇒P（1，$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}$）
∴$\overrightarrow{AP}=（3，\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}），\overrightarrow{AN}=（{x}_{2}+2，k（{x}_{2}-4）$）．
要证A，P，N三点共线，只证明$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AN}$共线即可，
即证明$\frac{k（{x}_{1}-4）}{{x}_{1}-2}（{x}_{2}+2）=3k（{x}_{2}-4）$成立．
即证明2x₁x₂-5（x₁+x₂）-8=0，将①代入上式显然成立．
∴A，P，N三点共线．
（ii）将直线y=k（x-4）（k≠0）变形为x=my+4，（m=$\frac{1}{k}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（m²-4）y²+8my-12=0．△=16（m²-12）＞0⇒m²＞12．
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}\frac{4\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}$，
点O到直线MN的距离d=$\frac{4}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
△OMN面积S=$\frac{1}{2}$×|MN|×d=$\frac{8\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}+4}=\frac{8\sqrt{{m}^{2}-12}}{{m}^{2}-12+16}$=$\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}-12}+\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-12}}}$$≤\frac{8}{8}=1$．
当且仅当m=±2$\sqrt{7}$，及k=±$\frac{\sqrt{7}}{14}$时等号成立．
∴当直线方程为：y=±$\frac{\sqrt{7}}{14}（x-4）$时，△OMN面积的最大为1．

点评 本题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、利用向量证明三点共线、运算能力，属于难题，