Question

1．已知sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
求：（1）cosα的值；
（2）sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；
（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
即sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，化简：sinα+cosα=$\frac{1}{5}$…①
sin²α+cos²α=1…②．
由①②解得cosα=-$\frac{3}{5}$或cosα=$\frac{4}{5}$
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
∴cosα=-$\frac{3}{5}$
（2）∵α∈（$\frac{π}{2}$，π）．cosα=-$\frac{3}{5}$
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
那么：cos2α=1-2sin²α=$-\frac{7}{25}$，sin2α=2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$-cos2αsin$\frac{π}{4}$=$-\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．