Question

10．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设AB=1，PD与平面ABCD所成的角为$\frac{π}{4}$，求二面角E-AF-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAD，由此能证明AE⊥PD．
（Ⅱ）由AE，AD，AP，两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，二面角E-AF-C的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
可得△ABC为正三角形．
∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE
而PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD
∴AE⊥PD．
解：（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，PD，
则在面ABCD射影为AD，
即∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA=45°，AP=AD=1
由（Ⅰ）知AE，AD，AP，两两垂直，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，
∴$A（0，0，0），E（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0），P（0，0，1），C（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0），F（\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$，
$B（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，0）D（0，1，0）$，
∴$\overrightarrow{AE}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0），\overrightarrow{AF}=（\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$．
设平面AEF的一法向量为$\overrightarrow n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{4}{x_1}+\frac{1}{4}{y_1}+\frac{1}{2}{z_1}=0.\end{array}\right.$
令z₁=1，则$\overrightarrow n=（0，-2，1）$，
而ABCD是棱形，∴AC⊥BD，又BD⊥PA．PA∩AC=A，
∴BD⊥平面AFC．
$\overrightarrow{BD}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2，}0）$为平面AFC的一个法向量．
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BD}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}}}{{|\overrightarrow{n|}•|\overrightarrow{BD}|}}=\frac{-3}{{\sqrt{5}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
∵$sin＜\overrightarrow n，\overrightarrow{BD}＞$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴二面角E-AF-C的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．