Question

19．已知F为抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+$\frac{p}{2}$交抛物线E于A，B两点．
（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l₁，l₂，且l₁，l₂交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为-$\frac{3}{2}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据弦长公式即可求出p的值，问题得以解决，
（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点A，B作抛物线E的切线l₁，l₂方程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$，消去x得${y^2}-3py+\frac{p^2}{4}=0$，
题设得$|AB|={y_A}+\frac{p}{2}+{y_B}+\frac{p}{2}={y_A}+{y_B}+p=4p=8$，
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y．
（II）设$A（{x_1}，\frac{1}{2p}x_1^2），B（{x_2}，\frac{1}{2p}x_2^2）$
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$，消去y得x²-2pkx-p²=0，
∴${x_1}+{x_2}=2pk，{x_1}•{x_2}=-{p^2}$，
由$y=\frac{1}{2p}{x^2}$得${y^'}=\frac{1}{p}x$，
∴直线l₁，l₂的方程分别为$y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2，y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x_1}{p}x-\frac{1}{2p}x_1^2\\ y=\frac{x_2}{p}x-\frac{1}{2p}x_2^2\end{array}\right.$得点P的坐标为$（pk，-\frac{p}{2}）$，
∴${k_{PF}}=-\frac{1}{k}$，
∴$-\frac{1}{k}+k=-\frac{3}{2}∴k=-2$或$\frac{1}{2}$，
∴直线l的斜率为k=-2或 $k=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线的位置关系，属中档题．