Question

9．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax²-（2a-1）x+a-1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）_max=f（1）=-1；
（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，
即为xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，
当x=1时，上式显然成立．
当x＞1时，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$，
由 $\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）{-（x-1）}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$，
设g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，
则 $\frac{xlnx-x+1}{{（x-1）}^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范围是[1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．