Question

14．已知棱长为$\sqrt{6}$的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{7}{2}$
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由题意可得：$\frac{1}{3}a•{S}_{△BCD}$+$\frac{1}{3}b{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△BCD}$，其中S_△BCD=S_△ACD，h为正四面体ABCD的高，可得h=2，a+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：由题意可得：$\frac{1}{3}a•{S}_{△BCD}$+$\frac{1}{3}b{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}h•{S}_{△BCD}$，其中S_△BCD=S_△ACD，h为正四面体ABCD的高．
h=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{6}）^{2}}$=2，
∴a+b=2．
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}（a+b）（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{2}（5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当a=2=$\frac{4}{3}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了正四面题的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．