Question

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数，-π＜α＜0），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）射线θ=-$\frac{π}{4}$与曲线C₁的交点为P，与曲线C₂的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数，-π＜α＜0），
普通方程为（x-1）²+y²=1，（y＜0），
极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），
普通方程2x+y-6=0；
（2）θ=-$\frac{π}{4}$，$ρ=\sqrt{2}$，即P（$\sqrt{2}$，-$\frac{π}{4}$）；
θ=-$\frac{π}{4}$代入曲线C₂的极坐标方程，可得ρ′=6$\sqrt{2}$，即Q（6$\sqrt{2}$，-$\frac{π}{4}$），
∴|PQ|=6$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查极坐标与参数方程的应用，化为普通方程的方法，两点间距离公式的应用，考查计算能力．