Question

7．已知函数$f（x）=xcosx-\frac{a}{x}sinx-sinx，x∈（{-kπ，0}）∪（{0，kπ}）$（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（　　）

• A． 2k-2
• B． 2k
• C． 2k-1
• D． 与a有关

Answer 1

分析 函数f（x）零点的个数等于方程xcosx-sinx=$\frac{a}{x}$sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；
设y₁=xcosx-sinx，y₂=$\frac{a}{x}$sinx，利用导数研究两个函数的单调性与交点个数，即可求出答案．

解答 解：函数f（x）=xcosx-$\frac{a}{x}$sinx-sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数
等于方程xcosx-sinx=$\frac{a}{x}$sinx，x∈（-kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；
设y₁=xcosx-sinx，y₂=$\frac{a}{x}$sinx，
∵y₁′=-xsinx，∴y₁=xcosx-sinx
在…，（-5π，-4π），（-3π，-2π），（-π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；
在…，（-4π，-3π），（-2π，-π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；
如图中实线所示；
y₂′=a$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，由y₁=xcosx-sinx的图象可得：
a＞0时，y₂=$\frac{a}{x}$sinx的图象，如图中虚线所示；
则函数f（x）共有2k-1个零点；
由函数图象的对称性可得，
当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k-1个．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点与方程根的应用问题，是难题．