Question

17．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是$\frac{1}{3}$．
（1）求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差．

Answer 1

分析 （1）设“这支篮球队首次胜场前已经负了两场”为事件A，则P（A）=$（1-\frac{1}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$；
（2）设“这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场”为事件B，则P（B）=${∁}_{6}^{3}×（1-\frac{1}{3}）^{3}×（\frac{1}{3}）^{3}$．
（3）由题意可得：这支篮球队在6场比赛中胜场数为X，则X～B$（6，\frac{1}{3}）$，P（X=k）=${∁}_{6}^{k}×（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{6-k}$，（k=0，1，2，3，4，5，6）．即可得出．

解答 解：（1）设“这支篮球队首次胜场前已经负了两场”为事件A，则P（A）=$（1-\frac{1}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$；
（2）设“这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场”为事件B，则P（B）=${∁}_{6}^{3}×（1-\frac{1}{3}）^{3}×（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{160}{729}$．
（3）由题意可得：这支篮球队在6场比赛中胜场数为X，则X～B$（6，\frac{1}{3}）$，P（X=k）=${∁}_{6}^{k}×（\frac{1}{3}）^{k}（\frac{2}{3}）^{6-k}$，
（k=0，1，2，3，4，5，6）．
∴E（X）=$6×\frac{1}{3}$=2，D（X）=$6×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了二项分布列的概率数学期望及其方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．