Question

6．已知tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，则cosβ的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），cosα，sinα的值，由β=（α+β）-α，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵tanα=4$\sqrt{3}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，
∴α+β∈（0°，180°），可得：sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosα=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{1}{7}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{1}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．