Question

15．如图，焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，F、A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值为4．

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率求出c，推出b，求解椭圆的方程，推出F，A，设出P的坐标，利用向量的数量积化简求解最值即可．

解答 解：焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{1}{2}$，可得a=2，c=1，则b=$\sqrt{3}$，
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
则F（-1，0），A（2，0），设P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），
则$\overrightarrow{PF}$=（-1-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ），$\overrightarrow{PA}$=（2-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ），
则$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ）（2-2cosθ，-$\sqrt{3}$sinθ）=cos²θ-2cosθ+1
=（cosθ-1）²，
当cosθ=-1时，上式取得最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．