Question

10．已知等比数列{a_n}的公比q=2，a₄=8，S_n为{a_n}的前n项和，设a=a₂^0.3，b=0.3${\;}^{{a}_{3}}$，c=log_an（S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$），则a，b，c大小关系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜b＜a
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由等比数列的性质得a₁=1，a_n=1×2^n-1=2^n-1，a₂=2，a₃=4，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，由此利用对数函数和指数函数的单调性质能判断a，b，c的大小关系．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比q=2，a₄=8，S_n为{a_n}的前n项和，
∴${a}_{4}={a}_{1}{q}^{3}$，∴8=a₁•8，
解得a₁=1，∴a_n=1×2^n-1=2^n-1，
∴a₂=2，a₃=4，${S}_{n}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
设a=a₂^0.3，b=0.3${\;}^{{a}_{3}}$，c=log_an（S_n+$\frac{1}{{S}_{n}}$），
∴a=2^0.3∈（1，$\sqrt{2}$），a=2^0.3＜2^0.5=$\sqrt{2}$，b=0.3⁴∈（0，1），
∵n∈N^*，∴1≤2^n-1≤2ⁿ-1，
∴$\sqrt{2}$＜c=$lo{g}_{{2}^{n-1}}（{2}^{n}-1+\frac{1}{{2}^{n}-1}）$＜2，
∴a，b，c大小关系是b＜a＜c．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的前5项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．