Question

19．已知函数$f（x）=4cosωx•sin（ωx+\frac{π}{4}）$（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值
（Ⅱ）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=4cosωx•sin（ωx+\frac{π}{4}）$=$2\sqrt{2}sinωx•cosωx+2\sqrt{2}{cos^2}ωx$=$\sqrt{2}（sin2ωx+cos2ωx）+\sqrt{2}$=$2sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$．
∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有$\frac{2π}{2ω}=π$，故ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴有$-\frac{3π}{4}+2kπ≤2x≤\frac{π}{4}+2kπ$，k∈Z，
解得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，k∈Z．
故得f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ}]$，k∈Z．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．