Question

15．将函数f（x）=sinωx-cosωx+1（ω＞0）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）的相邻两个零点之差的绝对值等于$\frac{π}{2}$，则函数y=g（x）的一个单调递减区间是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{8}$]
• B． [$\frac{π}{8}$，π]
• C． [$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
• D． [$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]

Answer 1

分析 首先利用图象变换得到ω，然后求其单调减区间，对k求值，得到所求．

解答 解：将函数f（x）=sinωx-cosωx+1=$\sqrt{2}$sin（ωx-$\frac{π}{4}$）+1（ω＞0）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）=$\sqrt{2}$sin[ω（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的图象，
由y=g（x）的相邻两个零点之差的绝对值等于$\frac{π}{2}$，得到g（x）周期为π，所以ω=2，
所以g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2k$π+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3}{2}π$，解得k$π+\frac{π}{8}$≤x≤k$π+\frac{5π}{8}$，k∈Z，
所以函数y=g（x）的单调递减区间是[k$π+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}$]，k∈Z，
令k=0，得到函数y=g（x）的一个单调递减区间是[$\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}$]；
故选D．

点评 本题考查了三角函数的图形变换以及三角函数图象的性质；熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键；属于中档题