Question

【题目】如图，椭圆C：（），，分别是椭圆C的左，右焦点，点D在椭圆上，且，，的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点A，使为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）（2），常数为.

【解析】

（1）根据线段比例关系及面积，集合椭圆中关系，可得方程组，解方程即可求得椭圆的标准方程.

（2）假设存在点满足为常数.当斜率存在时，设出直线方程，并联立椭圆方程，由韦达定理表示出，进而表示出.根据平面向量数量积的坐标运算，结合系数比相同时为常数，即可求得的值，进而确定的值；当斜率不存在时，易得两个交点坐标，即可确定取的值时的值是否与斜率存在时的一致.

（1）椭圆C：（），，分别是椭圆C的左，右焦点，点在椭圆上，且，.

则点的坐标为，（）.代入椭圆方程可得，

解得.

又因为，的面积为.

所以 ，解得

所以椭圆的标准方程为.

（2）假设在轴上存在点A，使为常数，设.

当直线的斜率存在时，直线过，设..

则，化简可得，

所以.

所以，

则

，

因为为常数，

所以，解得，

此时

当直线的斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点坐标分别为.

则

所以

当时，.

综上可知，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.