Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的单调区间

（2）当时，求函数在上的最大值

（3）当时，又设函数，求证：当，且时，

Answer 1

【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为，。(2) .(3)证明见解析

【解析】

（1）当时，求得导数则，进而可求得函数的单调区间；

（2）求得导数，令，利用导数求得的单调性，转化为，再令，求得的单调性与最值，即可求解.

（3）把当，且时，，转化为证明不等式，设，，令利用求得函数的单调性，得到，即可作出证明.

（1）由题意，当时，函数，

则，

令，得，，

当时，，函数单调递减；

当和时，，函数单调递减；

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）由函数

则，

令得，，

令，则，所以在上递增，

所以，从而，所以，

所以当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以，

令，则，

令，则，所以在上递减，

而，

所以存在使得，且当时，，

当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，，

所以在上恒成立，则，.

综上所述，函数在上最大值.

（3）当时，，

因为，所以，

若证当，且时，.

即证

，

即证，即证，

设，，令

则，因为恒成立，故，

即，即.