【题目】已知函数,若不等式在上恒成立,则的最小值是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
令h(x)f(x)﹣g(x)=lnx﹣(a﹣e)x﹣2b,利用导数求得h(x)max=h()=﹣ln(a﹣e)﹣1﹣2b≤0,求得≥,a>e,运用导数求得a=2e时,可得所求最小值.
由题意可知:在上恒成立,
构造函数,原问题等价于,
其中,
若,则恒成立,函数单调递增,不合题意,
据此可知,由导函数的符号可知:
函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
函数的最大值,
整理可得:,则,
构造函数,则,
原问题等价于求解函数的最大值.
由于,
故,
构造函数,
则,恒成立,则在定义域内单调递减,注意到,
故在区间上,函数,,单调递减,
故在区间上,函数,,单调递增,
函数的最大值为.
综上可得:的最小值是 .
故选:B.
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【题目】已知函数 .
(1)若函数在上是增函数,求正数的取值范围;
(2)当时,设函数的图象与x轴的交点为,,曲线在,两点处的切线斜率分别为,,求证:+ .
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【题目】一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:
人数 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
件数 | 4 | 7 | 12 | 15 | 20 | 23 | 27 |
(1)在答题卡给定的坐标系中画出表中数据的散点图,并由散点图判断销售件数与进店人数是否线性相关?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)建立关于的回归方程(系数精确到0.01),预测进店人数为80时,商品销售的件数(结果保留整数).
(参考数据:,,,,,)
参考公式:,,其中,为数据的平均数.
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【题目】如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动,点恰好经过原点.设顶点的轨迹方程是,则对函数有下列判断:①函数是偶函数;②对任意的,都有;③函数在区间上单调递减;④函数的值域是;⑤.其中判断正确的序号是__________.
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【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
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【题目】已知棱长为1的正方体,点是四边形内(含边界)任意一点, 是中点,有下列四个结论:
①;②当点为中点时,二面角的余弦值;③与所成角的正切值为;④当时,点的轨迹长为.
其中所有正确的结论序号是( )
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
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【题目】袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球,其中有4个编号为1,2, 3, 4的红球,2个编号为A、B的黑球,现从中任取2个小球.;
(1)求所取2个小球都是红球的概率;
(2)求所取的2个小球颜色不相同的概率.
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【题目】《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”弘扬传统文化,某市对全市一定年龄的市民进行了汉字听写测试.为了调查被测试市民的基本情况,组织方从参加测试的市民中随机抽取120名市民,按他们的年龄分组:第一组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访,求被采访人恰好在第1组或第4组的概率;
(2)已知第1组市民中男性有3名,组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至少有1名女性群众的概率.
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