Question

【题目】已知棱长为1的正方体，点是四边形内（含边界）任意一点， 是中点，有下列四个结论：

①；②当点为中点时，二面角的余弦值；③与所成角的正切值为；④当时，点的轨迹长为.

其中所有正确的结论序号是（ ）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①利用线面平行，得到线线平行。②要求二面角的余弦值，转化为求二面角的平面角余弦值。③要求线线角，将其平移至一个三角形中，即可求解。④证明平面，则即为点的运动路径，通过计算即可求解。

解：如图所示，

①根据正方体的几何性质，易得平面,又因为平面, 故，即，故①对。

②当点为中点时，,且,所以二面角的平面角为,连接,又，故所求二面角的余弦值为 .故②错。

③因为,所以与所成角即为与所成角，即为,连接,在等腰三角形中，为底边中点，所以 ，所以与所成角的正切值为.故③对。

④点为 中点，所以，又因为 所以平面, 即点在线段上运动时，，所以点的轨迹长为，故④对。

故选.