Question

【题目】如图，在三棱锥中，N为CD的中点，M是AC上一点.

（1）若M为AC的中点，求证：AD//平面BMN；

（2）若，平面平面BCD,，求直线AC与平面BMN所成的角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）由，即可证明出AD//平面BMN；

（2）向量法，建立空间直角坐标系，求出以及面BMN的法相量，利用直线AC与平面BMN所成的角为，则即可求出AC与平面BMN所成的角的正弦值，进而求出余弦值。

（1）证明：如图，在中，因为M，N分别为棱AC，CD的中点，连接MN，

所以，又平面BMN，平面BMN，

所以平面BMN

（2）解：取BD的中点O，连接AO，因为，所以，又因为平面平面BCD，平面平面BCD=BD，,平面ABO,

所以平面BCD，所以.

又，平面ABO

所以平面ABO,

平面ABO,所以

连接ON,所以,所以,

如图建系，

设，则，

因为，所以，

所以，则

所以，则

设平面BMN的一个法向量为，

则，即

令，则

设直线AC与平面BMN所成的角为，

则

又，所以，

所以直线AC与平面BMN所成的角的余弦值为