Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点，详见解析.

【解析】

（1）由题意得出，由题意知点在椭圆上，由此得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）解法一：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，并写出直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论；

解法二：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线的斜率为，可写出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论.

（1）抛物线的焦点为，准线为.

由于抛物线的准线截椭圆所得弦长为，

则点在椭圆上，则有，解得，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，

代入椭圆方程并化简得：.

设，，则，解得.

因为直线是线段的垂直平分线，

故直线的方程为，即，即.

令，此时，，于是直线过定点；

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.

综上所述，直线过定点；

法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.

当直线的斜率存在且不为时，设，，

则有，，

两式相减得，

由线段的中点为，则，，

故直线的斜率，

因为直线是线段的垂直平分线，

故直线的方程为，即，即.

令，此时，，于是直线过定点；

当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点

综上所述，直线过定点.