Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为.

（1）求、；

（2）设曲线与轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；

（3）若关于的方程有两个实数根，，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将点代入切线方程得出，并求出函数的导数，由求出、的值；

（2）求出点的坐标，并利用导数求出函数在点处切线对应的函数，然后构造函数，利用导数证明出；

（3）求出方程的根，利用函数的单调性证明出，设函数在原点处的切线对应的函数为，易得的根为，由函数的单调性得出，再利用不等式的性质可证明结论成立.

（1）将代入切线方程中，有，

所以，即，

又，所以，

若，则，与矛盾，故；

（2）由（1）可知，令，有或，

故曲线与轴负半轴的唯一交点为.

曲线在点处的切线方程为，则，

令，则，

所以，.

当时，若，，

若，，在上单调递增，，故，在上单调递减，

当时，由知在时单调递增，，函数在上单调递增.

所以，即成立；

（3），设的根为，则，

又单调递减，且，所以，

设曲线在点处的切线方程为，有，

令，，

当时，，

当时，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即，

设的根为，则，

又函数单调递增，故，故.

又，所以.