Question

【题目】已知点A，B是抛物线上关于轴对称的两点，点E是抛物线C的准线与x轴的交点.

（1）若是面积为4的直角三角形，求抛物线C的方程；

（2）若直线BE与抛物线C交于另一点D，证明：直线AD过定点.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 证明见解析

【解析】

（1）根据直角三角形的性质，可以得到三点在以焦点为圆心，为半径的圆上，故点，,,再根据三角形面积，即可求出。

（2）设,所在直线方程和抛物线方程，通过韦达定理，得到斜率的表达式，进而得到所在直线的表达式，通过化简整理，即可证明。

解：（1）由题意，是等腰直角三角形，且

不妨设点A位于第一象限，则直线EA的方程为，

联立方程，，解得

所以点，，

，解得，

故抛物线C的方程为

（2）（方法一）设，，则直线EB的方程为

联立方程，，消去，

得关于的方程

该方程有一个根，两根之积为，

则另一个根为，所以点D的坐标为

直线AD的斜率为

所以AD的方程为

化简得

所以直线AD过定点

（方法二）设，，，直线BE的方程为，

联立方程，，消去x，

得关于x的方程，所以

则

直线AD的方程为

化简得

所以直线AD过定点