Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即证；

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．

（1）平面，平面，.

底面是矩形，，又，

平面，平面，

.

（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示

则，

，

设平面的法向量，则

，即，令，则，.

设直线与平面所成的角为，则

.

所以与平面所成角的正弦值为.

（3）.

设平面的法向量，则

，即，令，则..

又平面的法向量.

设二面角的大小为，则为锐角，

，

所以二面角的余弦值为．