【题目】已知函数为实数)的图像在点
处的切线方程为
.
(1)求实数的值及函数
的单调区间;
(2)设函数,证明
时,
.
【答案】(1) ;函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
函数
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)由题得,根据曲线
在点
处的切线方程,列出方程组,求得
的值,得到
的解析式,即可求解函数的单调区间;
(2)由(1)得 根据由
,整理得
,
设,转化为函数
的最值,即可作出证明.
试题解析:
(1)由题得,函数的定义域为
,
,
因为曲线在点
处的切线方程为
,
所以解得
.
令,得
,
当时,
,
在区间
内单调递减;
当时,
,
在区间
内单调递增.
所以函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)由(1)得, .
由,得
,即
.
要证,需证
,即证
,
设,则要证
,等价于证:
.
令,则
,
∴在区间
内单调递增,
,
即,故
.
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【题目】已知命题p:方程 =1表示双曲线,命题q:x∈(0,+∞),x2﹣mx+4≥0恒成立,若p∨q是真命题,且綈(p∧q)也是真命题,求m的取值范围.
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【题目】关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计
的值:先请200名同学,每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y);再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m;最后再根据统计数m来估计
的值.假如统计结果是m=56,那么可以估计
__________.(用分数表示)
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
过点
,离心率为
,
,
是椭圆
的长轴的两个端点(
位于
右侧),
是椭圆在
轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为
的直线
与椭圆
交于不同两点
和
,使得向量
与
共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
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【题目】某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段。现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
[60,70) | ① | 0.16 |
[70,80) | 22 | ② |
[80,90) | 14 | 0.28 |
[90,100] | ③ | ④ |
合 计 | 50 | 1 |
(1)填充频率分布表中的空格(在解答中直接写出对应空格序号的答案);
(2)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依次口答4道小题,答对2道题就终止答题,并获得一等奖。如果前三道题都答错,就不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率;
②记该同学决赛中答题个数为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】设a,b∈R,ab≠0,给出下面四个命题:①a2+b2≥﹣2ab;② ≥2;③若a<b,则ac2<bc2;④若
.则a>b;其中真命题有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,P是双曲线 (a>0,b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是双曲线的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且
.某同学用以下方法研究|OM|:延长F2M交PF1于点N,可知△PNF2为等腰三角形,且M为F2N的中点,得|OM|=
|NF1|=…=a。类似地:P是椭圆
(a>b>0,xy≠0)上的动点,F1,F2是椭圆的焦点,M是∠F1PF2的平分线上一点,且
,则|OM|的取值范围是________.
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