Question

【题目】设函数，．

（Ⅰ）若，证明函数有唯一的极小值点；

（Ⅱ）设且，记函数的最大值为M，求使得的a的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）正整数a的最小值为3

【解析】

（Ⅰ）设，得出的单调性，再依据零点存在性定理得出结论．

（Ⅱ）由题得，设，则，

则在上为单调递减函数，从而得出在上为单调递减函数，且

，则，所以，存在唯一的，使得，进而可得在处取得最大值，，所以，从而得出答案．

（Ⅰ）∵，

设，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

且，

当时，，

当时，取，则，

依据零点存在性定理，知存在唯一的，使得，

且时，，递减，

且时，，递增，

故为函数唯一的极小值点．

（Ⅱ）因为，

所以，

设，则，

则在上为单调递减函数，

取，则，

取，则，

所以，存在唯一的，使得，即，

且当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故函数在处取得最大值，

此时，由得，

，

由两边取对数，得

则，

由已知，，

故正整数a的最小值为3．